。この記事では、時間に依存するシュレーディンガー方程式を、ポテンシャルが依存する変数で場合分けして求められるのかを考察する。
場合分けする前の準備
3次元の時間依存するシュレーディンガー方程式は
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,y,z,t)=\left\{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(x,y,z,t)\right\}\tag{1}$$
ここで波動関数\(\Psi(x,y,z,t)\)に変数分離を仮定する。
$$\Psi(x,y,z,t)=f(x,y,z)g(t)\tag{2}$$
ここでf(x)を以下のように書き換える。
$$
\begin{align}
f(x,y,z)&=e^{F(x,y,z)}\tag{3}\\\\
F(x,y,z)&=\log(f(x,y,z))\tag{4}
\end{align}
$$
同様に\(g(t)を\)
$$
\begin{align}
g(t)=e^{G(t)}\tag{5}\\\\
G(t)=\log(g(t))\tag{6}
\end{align}
$$
（４）、（６）式を（１）に代入すると、
$$
\begin{align}
LHS&=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,y,z)\\\\
&=i\hbar\frac{\partial e^{G(t)}}{\partial t}f(x,y,z)\\\\
&=i\hbar\frac{\partial G(t)}{\partial t}\Psi(x,y,z,t)\tag{7}\\\\
RHS&=\left\{-\frac{\hbar}{2m}\nabla^2+V(x,y,z,t)\right\}e^{F(x,y,z)+G(t)}\\\\
&=\left\{-\frac{\hbar}{2m}\left(\nabla F(x,y,z)\right)^2+V(x,y,z,t)\right\}\Psi(x,y,z,t)\tag{8}
\end{align}
$$
ここでLHSは左辺（Left-Hand Side: LHS）、RHSは右辺（Right-Hand Side: RHS）である。\(LHS=RHS\)より、
$$i\hbar\frac{\partial G(t)}{\partial t}\Psi(x,y,z,t)=\left\{-\frac{\hbar}{2m}\left(\nabla F(x,y,z)\right)^2+V(x,y,z,t)\right\}\Psi(x,y,z,t)\tag{9}$$
ここで波動関数\(\Psi(x,y,z,t)\)は一般にゼロでないため、（9）式の両辺を\(\Psi\)で割っても差し支えない。その結果、変数分離を仮定した時間に依存するシュレーディンガー方程式は、
$$i\hbar\frac{\partial G(t)}{\partial t}=\left\{-\frac{\hbar}{2m}\left(\nabla F(x,y,z)\right)^2+V(x,y,z,t)\right\}\tag{10}$$
という方程式に帰着される。またここでハミルトニアンの固有値をエネルギーであることも宣言しておく。
$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=\hat{H}\Psi=E\Psi\tag{11}$$
（７）、（１１）より、
$$
\begin{align}
i\hbar\frac{\partial G(t)}{\partial t}\Psi(x,y,z,t)=E\Psi\tag{12}
\end{align}
$$
（１２）の両辺を\(\Psi\)で割り、微分方程式を解くと
$$G(t)=-i\frac{E}{\hbar}t\tag{13}$$
が得られた。残りは\(F(x,y,z)\)を求めるだけである。（１０）、（１２）より
$$-\frac{\hbar}{2m}\left(\nabla F(x,y,z)\right)^2+V(x,y,z,t)=E\tag{＊}$$
という微分方程式が得られる。ポテンシャル\(V\)が依存する変数で場合わけして解く。
(1)Vが定数の場合 \(V=const.\)
\(V=const.\)の場合、（＊）は
$$-\frac{\hbar}{2m}\left(\nabla F(x,y,z)\right)^2+V=E\tag{＊-1-1}$$
これを変形すると
$$
\begin{align}
\left\{\nabla F(x,y,z)\right\}^2&=\frac{-2m}{\hbar^2}(E-V)\tag{＊-1-2}\\\\
\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial z}\right)^2&=\frac{-2m}{\hbar^2}(E-V)=const.\tag{＊-1-3}
\end{align}
$$
左辺は3つの定数の和であると考えると、
$$
\begin{align}
\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2&=\Lambda_x\tag{＊-1-4}\\\\
\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^2&=\Lambda_y\tag{＊-1-5}\\\\
\left(\frac{\partial F}{\partial z}\right)^2&=\Lambda_z\tag{＊-1-6}\\\\
\frac{-2m}{\hbar^2}(E-V)&=\Lambda_x+\Lambda_y+\Lambda_z\tag{＊-1-7}
\end{align}
$$
これを解くと、
$$
\begin{align}
F=\lambda_x x+C_{yz}(y,z)\tag{＊-1-8}\\\\
F=\lambda_y y+C_{xz}(x,z)\tag{＊-1-9}\\\\
F=\lambda_z z+C_{xy}(x,y)\tag{＊-1-10}\\\\
\end{align}
$$
ここで
$$
\begin{align}
\lambda_x=\pm\sqrt{\Lambda_x},\hspace{1cm}\lambda_y=\pm\sqrt{\Lambda_y},\hspace{1cm}\lambda_z=\pm\sqrt{\Lambda_z}\tag{＊-1-11}
\end{align}
$$
よって
$$
\begin{align}
F=\lambda_x x+\lambda_y y+\lambda_z z\tag{＊-1-12}
\end{align}
$$
と\(F\)の解を求めることができた。
ここで\(\Lambda_x,\Lambda_y,\Lambda_z\)の物理的意味を考察する。エネルギー保存則より、
$$
\begin{align}
\Lambda_x+\Lambda_y+\Lambda_z&=\frac{-2m}{\hbar^2}(E-V)\tag{＊-1-13}\\\\
&=\frac{-2m}{\hbar^2}\frac{\vec{p}^2}{2m}\tag{＊-1-14}\\\\
&=-\frac{\vec{p}^2}{\hbar^2}\tag{＊-1-15}\\\\
&=-\frac{p_x^2+p_y^2+p_z^2}{\hbar^2}\tag{＊-1-16}
\end{align}
$$
ここで1次元で考えると\(y,z\)成分の項は無視されるので、
$$
\begin{align}
\sqrt{\Lambda_x}=i\frac{p_x}{\hbar}\tag{＊-1-17}
\end{align}
$$
同様に
$$
\begin{align}
\sqrt{\Lambda_y}=i\frac{p_y}{\hbar},\hspace{1cm}\sqrt{\Lambda_z}=i\frac{p_z}{\hbar}\tag{＊-1-18}
\end{align}
$$
とおいても方程式と矛盾しない。（１３）、（＊-1-11）、（＊-1-12）、（＊-1-17）、（＊-1-18）より、波動関数の各項
$$
\begin{align}
e^{G(t)}e^{F(x,y,z)}&=e^{\frac{i}{\hbar}(p_x x+p_y x+p_z z-Et)}\tag{＊-1-19}\\\\
&=e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\cdot\vec{x}-Et)}\tag{＊-1-20}
\end{align}
$$
は運動量\(\vec{p}\)とエネルギー\(E\)をもつ粒子を表していることがわかる。\(p_x,p_y,p_z,E\)の取りうる値が離散的でないと仮定すると、波動関数\(\Psi(x,y,z,t)\)は各\((p_x,p_y,p_z,E)\)の項の足し合わせであるため、
$$
\begin{align}
\Psi(\vec{x},t)=\int^{\infty}_{\infty}\frac{d^3p dE}{(2\pi)^4}F(\vec{p},E)e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\cdot\vec{x}-Et)}\tag{＊-1-21}\\\\
F(\vec{p},E)=\int^{\infty}_{\infty}\Psi(x,y,z,t)e^{-\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\cdot\vec{x}-Et)}dxdydzdt\tag{＊-1-22}
\end{align}
$$
(2)ポテンシャルが空間にのみ依存する場合 \(V=V(x,y,z)\)
まずは方程式を書き下す。
$$-\frac{\hbar}{2m}\left(\nabla F(x,y,z)\right)^2+V(x,y,z)=E\tag{＊}$$
これを変形して、
$$
\begin{align}
\left(\nabla F(x,y,z)\right)^2=-\frac{2m(E-V(x,y,z))}{\hbar^2}\tag{＊-2-1}
\end{align}
$$
ここで右辺を\(Q(x,y,z)\)とおくと
$$
\begin{align}
\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial z}\right)^2=Q(x,y,z)\tag{＊-2-2}
\end{align}
$$
さらに\(F(x,y,z)\)と\(Q(x,y,z)\)をテイラー展開すると、
$$
\begin{align}
\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial z}\right)^2&=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{l=0}^{\infty}C_{n,m,l}x^n y^m z^l\tag{＊-2-3}\\\\
F(x,y,z)&=\sum^{\infty}_{i=1}\sum^{\infty}_{j=1}\sum^{\infty}_{k=1}D_{i,j,k}x^{i}y^{j}z^{k}\tag{＊-2-4}
\end{align}
$$
これを（＊-2-2）に代入し、各係数を比較をすることで解ける。1次元ならWKB近似が使える。
(3)ポテンシャルが時間にのみ依存する場合 \(V=V(t)\)
これについてはシュレーディンガー方程式から再スタートする。シュレーディンガー方程式を書き下すと、
$$i\hbar\frac{\partial G(t)}{\partial t}=\left\{-\frac{\hbar}{2m}\left(\nabla F(x,y,z)\right)^2+V(t)\right\}\tag{＊-3-1}$$
ポテンシャルを移項してやると、
$$i\hbar\frac{\partial G(t)}{\partial t}-V(t)=-\frac{\hbar}{2m}\left(\nabla F(x,y,z)\right)^2\tag{＊-3-2}$$
（＊-3-2）の左辺は時間にのみ依存しており、一方右辺は空間にのみ依存している。そのため両辺は時間にも空間にも依存しない定数である。この定数を\(\Lambda\)とおくと、
$$
\begin{align}
i\hbar\frac{\partial G(t)}{\partial t}-V(t)=\Lambda\tag{＊-3-3}\\\\
-\frac{\hbar}{2m}\left(\nabla F(x,y,z)\right)^2=\Lambda\tag{＊-3-4}
\end{align}
$$
（＊-3-3）は\(V(t)\)を移項して両辺を積分すれば解\(G(t)\)が得られる。（＊-3-4）は（＊-1-3）と同様であるため、これらを解くと、
$$
\begin{align}
G(t)&=\frac{1}{i\hbar}\int^{t}_{0}\left(\Lambda+V(t)\right)\tag{＊-3-5}\\\\
F(x,y,z)&=\lambda_x x+\lambda_y y+\lambda_z z\tag{＊-3-6}\\\\
\Lambda&=\lambda_x^2+\lambda_y^2+\lambda_z^2\tag{＊-3-7}
\end{align}
$$
この解は、エネルギーが時間変化しているとみなせる。ハミルトニアンが時間に陽に依存していることからこの系は時間並進対称性がない物理を扱っており、解と矛盾しない。
(4)ポテンシャルが時間にも空間にも依存している場合 \(V=V(x,y,z,t)\)
最後のパターンは一見難関に思えるが、時間依存する摂動論を用いることで近似的に解くことができる。
さいごに
今回はポテンシャルの依存する変数で場合わけしてそれぞれの解法を考察してみたが、いかがだっただろうか。
一般解についてこれだけ議論したが、実際の物理系を考える際は先人の知恵を借りて、教科書に載っている解法をまるごと真似てしまうのが一番だと私は思う。
何故なら、量子力学の教科書にはシュレーディンガー方程式の一般解はなく、ポテンシャルで場合分けして各物理系ごとの解法が提示されているからである。もし一般解を先に求めて体系的に扱うことの効用が大きければ現代の量子力学の教科書はかなり変わっていただろうが、私もまだ学部４年のペーペーであるため、自分の考えたことの大抵のことは過去の誰かがすでに考慮済みだと思っている。
とはいえ、WKB近似や、摂動論はどの場合のシュレーディンガー方程式に利用するのかという解法の使える場合分けをすることに繋がると院試やその後の研究に役立つかもしれないとも私は考えている。
これらのことから、読者にとって少しでも有益な記事であったのなら幸いだ。
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